2.4 CAMPOS Y POTENCIA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

DOMINIO DEL TIEMPO

Potencia.

En un dipolo a través del cual hay una caída de potencial v(t) en el sentido de la corriente i(t), conforme a la convención definida para la ley de Ohm, la potencia instantánea recibida es:   

p(t) = v(t)·i(t)

Si la tensión y la corriente se expresan respectivamente en voltios y amperios, la potencia viene dada en vatios (watts).

El trabajo realizado en un cierto intervalo será:

La potencia media en ese intervalo será en consecuencia:

Puede evaluarse esta potencia si son conocidas las funciones v(t) e i(t), ya sea analítica o gráficamente.

Si nos referimos al caso particular de tensiones y corrientes armónicas en el tiempo, o senoidales, tendremos en general que:

                  v(t) = V_max cos(wt + y)

                  i(t) = I_max cos(wt + q)

La potencia instantánea será:

                  p(t) = V_max I_max cos(wt + y) cos(wt + q)

Que a través de una identidad trigonométrica podemos poner como:

                  p(t) = V_max I_max ½[cos(2wt + y +  q) cos(y - q)]=

                  = ½ V_max I_max cos(2wt + y +  q) + ½ V_max I_max cos j_Z

La potencia instantánea está compuesta por una variación senoidal en el tiempo de una frecuencia doble a la de la tensión y corriente, y otro término que depende de los valores máximos de la tensión y de la corriente y del ángulo de fase relativo entre ellos, ángulo de fase de la impedancia del circuito j_Z.

Los intervalos en los cuales la potencia es negativa corresponden a los instantes en que la tensión y la corriente tienen signos opuestos. En esos instantes el circuito devuelve energía a la fuente, energía que fue almacenada en los elementos pasivos en forma de campos eléctricos en los capacitores, y magnéticos en los inductores.

Esto ocurre siempre que haya entre la tensión y la corriente un desfasaje, es decir si j_Z ¹ 0.

A partir de la expresión anterior podemos encontrar la potencia media a lo largo de un número entero de ciclos. En general esto variaría con el número de ciclos pero, si consideramos que estamos en régimen permanente, podemos hacer el cálculo a lo largo de un ciclo de la potencia (medio ciclo de la tensión):

Si recordamos que: w = 2pf y T = 1/f, resulta que T/2 = p/w.

Que podemos expresar en función de los valores eficaces como:

                        P = V I cos j_Z  [vatios]

Potencias activa, reactiva y aparente, Factor de potencia.

Cuando las corrientes y tensiones son alternas senoidales la ecuación P = V I cos j_Z, que da el valor medio de la potencia, es la misma que la correspondiente a la de un circuito de corriente continua excepto por el valor cos j_Z.

Este factor tiene en cuenta el hecho que, en general, tensión y corriente no están en fase, caso contrario este factor es igual a uno y coincide con la expresión de corriente continua. Por esta razón a este cos j_Z se lo denomina factor de potencia, Fp.

      

En un circuito de admitancia Y e^jjy el vector corriente está desfasado del vector tensión en el ángulo j_Y.

     

Si consideramos el vector tensión:

                  v = V_max cos wt

 La corriente:

                  i = I_max cos (wt + j_Y)

se puede descomponer en la componente en fase y la componente en cuadratura o reactiva:

                  i_a = I_max cos j_Y cos wt

                  i_b = I_max sen j_Y cos (wt + p/2)

      Es decir que podemos escribir vectorialmente:

                  I_max = I_max cos j_Y + j I_max sen j_Y

      Obtenemos entonces que:

                  P = ½ V_maxI_max cos j_Y           potencia media (activa)

                  Q = ½ V_maxI_max sen j_Y           potencia reactiva

donde sen j_Y es el factor reactivo.

     

La suma geométrica de ambas es lo que se llama potencia aparente.

            P_ap = S = P + jQ = ½ V_maxI_max cos j_Y + j ½ V_maxI_max sen j_Y

            |S| = ½ V_maxI_max = V·I  

Se la denomina aparente porque resulta de multiplicar directamente la tensión por la corriente sin tener en cuenta el factor de potencia. Es lo que podemos obtener si el circuito tiene un voltímetro y un amperímetro, con los cuales no podríamos calcular la potencia activa.

Para poder indicar de cual de las tres potencias estamos hablando se ha definido una unidad especial para cada una. Estas unidades tienen la misma dimensión porque no hay diferencia entre las magnitudes que las componen salvo el seno o el coseno que son adimensionales.

      

La potencia activa o media, P, está expresada en vatios [W], la potencia reactiva, Q, en voltamperios reactivos [VAr], y la potencia aparente, S, en voltamperios [VA].

DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Potencia vectorial.

El cálculo simbólico había sido introducido haciendo ciertas consideraciones y verificando con el concepto de linealidad. Se aclaró que no es lo mismo la forma temporal que la fasorial pero que se podía utilizar ventajosamente obteniendo los mismos resultados.

      

La potencia implica una función cuadrática y si queremos aplicar el cálculo simbólico no podemos extender simplemente el concepto, debemos demostrarlo y verificarlo.

     

Partiremos de las expresiones iniciales:

                  v(t) = V_max cos(wt + y)

                  i(t) = I_max cos(wt + q)

y aplicaremos las fórmulas de Euler a la definición de la potencia instantánea:

definiendo las tensiones y corrientes vectoriales en función de sus valores eficaces tendremos:

      p = ½  V e^jwt + V^* e^-jwt   I e^jwt + I^* e^-jwt  =

      = ½  V I^*  + V^* I + V I e^j2wt + V^* I^* e^-j2wt  =

      = ½ V·I  e^jy e^-jq + e^-jy e^jq + e^j(y+q) e^j2wt + e^-j(y+q) e^-j2wt  =

      = V·I [ cos (y - q ) + cos ( 2wt + y + q ) ] = p

      Vemos aquí que el término V·I cos j_Z se obtiene de:

                   ½  V I^*  + V^* I

      Los términos dentro del paréntesis son conjugados entre sí por lo que podemos poner que:

             P =  ½  V I^*  + V^* I  = Re  V^* I  = Re  V I^*  

      Si ponemos V = (V₁ + jV₂) e I = (I₁ + jI₂):

      P = Re  V I^*  = Re [(V₁ + jV₂) (I₁ + jI₂)] = V₁I₁ + V₂I₂

      Otro resultado más útil se deduce del término V^*I:

            V^*I = V^*I e^j(q-y) = VI e^jjY = VI(cos j_Y + j sen j_Y) =

                  = P + j Q = S  que es el vector potencia.

     

EJERCICIO

En el caso práctico se establece un factor de, por ejemplo, 0.8 y se corrige para llevarlo por lo menos a ese valor con los valores comerciales de los capacitores.

En un caso como este se determina cual es la potencia reactiva máxima que debo tener y la potencia de corrección será la necesaria para compensar el excedente que tengo.

      

Volvamos al ejemplo, teníamos que:

            S = (123 + j102.5) voltamperios

la parte activa no la podemos variar, por lo que la potencia reactiva permitida será:

            Q_P = P tag a      y     a = arccos 0.8 = 36.9º

con lo que:

            Q_P = 123·0.75 = 92.250 var

la potencia de corrección será:

      Q_C = Q - Q_P = 102.5 - 92.25 = 10.25 var

y el capacitor necesario es de:

            C = Q_C/wV² = 1.64 microfaradios