1.3 CUARTO POSTULADO. LAS ECUACIONES DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO EN EL ESPACIO LIBRE. ECUACIONES DE MAXWELL, DE GAUSS Y DE CONSERVACIÓN DE CARGA, EN FORMA INTEGRAL.

ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL

Las formas integrales de las ecuaciones de maxwell con, generalmente, mas fáciles de reconocer en términos de las leyes experimentales de las cuales se han deducido a través de un proceso de generalización. Los experimentos deben tratar con cantidades físicas macroscópicas y sus resultados tienen que expresarse en términos de relaciones integrales. Una ecuación diferencial siempre representa una teoría.

 Integrando sobre una superficie y aplicando el teorema de Stokes, se obtiene la ley de Faraday

Ley circuito de ampere

Las leyes de gauss para los campos magnéticos y eléctricos se obtienen integrando

Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar las condiciones en la frontera de B, D, H Y E, las cuales son necesarias para evaluar las constantes obtenidas al resolver las ecuaciones de maxwell en forma de ecuaciones diferenciales parciales.

Estas condiciones de frontera no cambian en general la forma que tienen para los campos estáticos o estables y se pueden utilizar los mismos métodos para obtenerlos.

Entre cualquier par de medios físicos (donde K debe ser cero sobre la superficie) permite relacionarse las componentes tangenciales del campo E.

E_t1=E_t2 y de H_t1= H_t2

Las integrales de superficie producen las condiciones de frontera sobre las componentes normales, D_N1-D_N2= Ps y B_N1= B_N2

Normalmente es recomendable considerar un problema físico ideal suponiendo un conductor perfecto para la cual es infinita pero J es finita.

Las condiciones de frontera establecidas son parte necesaria de las ecuaciones de maxwell. Todos los problemas físicos reales tienen fronteras y requieren una solución de las ecuaciones de maxwell en dos o más regiones, de manera que estas soluciones concuerdan con las condiciones de frontera. 

PROBLEMA

Un filamento perfectamente conductor que tiene una pequeña resistencia de 500Ω está formado por un cuadro.

Encontrar I (t) si B= 0.3cos (120(3.1416)t-30°) a_zT

Primero el flujo por el lazo es evaluado, donde la unidad normal al lazo es a_z. Encontramos

ECUACIONES DE GAUSS EN FORMA INTEGRAL

El flujo eléctrico que pasa por a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total cerrada por esa superficie.

Considere cualquier punto p, un pequeño elemento de superficie  y que D_s forma de un ángulocon . El flujo a través de  es entonces el producto de la componente normal de D_s Y _S.

El flujo total que pasa a través de la superficie cerrada se obtiene sumando las contribuciones diferenciales que cruzan cada elemento de superficie S

La fórmula matemáticamente de la ley de gauss es

PROBLEMA

Sea D = 4xyax + 2(x² + z²) ay + 4yzaz C/m^2` evalué las integrales de superficie y encontrar la carga total encerrada en el paralelepípedo rectangular 0 < x < 2, 0 < y < 3, 0 < z < 5 m

De las 6 superficies para considerar, sólo 2 contribuirá al flujo neto externo. ¿Por qué? Primero considere los puntos en y = 0 y 3. El punto y de D pasara aquellas superficies, pero será hacia adentro en y = 0 y externo en y = 3, teniendo la misma magnitud en ambos casos,

Estos flujos se cancelarán. En el x = 0 punto, Dx = 0 y en la z = 0 punto, Dz = 0, así no habrá ningunas contribuciones de flujo de estas superficies. Esto abandona las 2 superficies restantes en x = 2 y la z = 5. El flujo neto externo se hace:

ECUACIÓN CONSERVACIÓN DE CARGA

En concordancia con los resultados experimentales, el principio de conservación de la carga establece que no hay destrucción ni creación neta de carga eléctrica, y afirma que en todo proceso electromagnético la carga total de un sistema aislado se conserva.

En un proceso de electrización, el número total de protones y electrones no se altera, sólo existe una separación de las cargas eléctricas. Por tanto, no hay destrucción ni creación de carga eléctrica, es decir, la carga total se conserva. Pueden aparecer cargas eléctricas donde antes no había, pero siempre lo harán de modo que la carga total del sistema permanezca constante. Además esta conservación es local, ocurre en cualquier región del espacio por pequeña que sea.

Al igual que las otras leyes de conservación, la conservación de la carga eléctrica está asociada a una simetría del lagrangiano, llamada en física cuántica invariancia gauge. Así por el teorema de Noether a cada simetría del lagrangiano asociada a un grupo un paramétrico de transformaciones que dejan el lagrangiano invariante le corresponde una magnitud conservada.

 La conservación de la carga implica, al igual que la conservación de la masa, que en cada punto del espacio se satisface una ecuación de continuidad que relaciona la derivada de la densidad de carga eléctrica con la divergencia del vector densidad de corriente eléctrica, dicha ecuación expresa que el cambio neto en la densidad de carga  dentro de un volumen prefijado  es igual a la integral de la densidad de corriente eléctrica  sobre la superficie  que encierra el volumen, que a su vez es igual a la intensidad de corriente eléctrica :

 PROBLEMA

Los electrones están en el movimiento arbitrario en una región fija en el espacio. Durante cualquier  intervalo 1 µs, la probabilidad de encontrar un electrón en una subregión de volumen 10^-15 m² es 0.27. ¿Qué densidad de  volumen, apropiada por tales duraciones de tiempo, debería ser asignada a que la subregión?

Probabilidad finita con eficacia reduce la cantidad neta por la fracción de probabilidad. Con la e =-1.602 × 10^-19 C, la densidad se hace